1/xの微分を完全解説！定義に基づく導出方法、公式の確認方法、1次近似の求め方、∞/∞の不定形と極限への応用

微分を学び始めたとき、誰もが一度は「1/xの微分ってどうやるんだっけ？」と悩んだことがあるのではないでしょうか。本記事では、定義に立ち返った導出から公式の確認、さらに1次近似や極限への応用までを、具体例とともに解説します。

1/xの導関数: -1/x² · 微分の定義式: lim_{h→0} (f(x+h)-f(x))/h · べき乗の微分公式: (x^p)’ = p x^p-1（p = -1 を代入） · 微分可能範囲: x ≠ 0

4つの基本情報を表にまとめました。

この表は1/xの微分に関わる基本情報を一覧にしています。特に微分可能範囲の制限は実践で見落としがちです。

1xはいくつですか？

1xの表記の意味

数学の文字式では「1x」は「1 × x」の略記です。通常、係数が1のときは1を省略して「x」と書きます（明光プラス（学習サイト））。したがって「1x」という表記自体は正しいですが、慣例的にほとんど使われません。

1xとxの違い

「1x」と「x」は数学的にまったく同じです。違いは表記のみであり、値は同一です。高校数学では「x」と書くのが一般的です。

この認識があれば、文字式の基本ルールが身につきます。

1次近似とは何ですか？

1次近似の公式

関数f(x)のx=aにおける1次近似式はf(a)+f'(a)(x-a)で表されます（明光プラス（学習サイト））。これは接線の方程式そのものです。

1次近似の例：1/xの場合

f(x)=1/x、a=1とすると、f(1)=1、f'(1)=-1です。よって1次近似式は1 – (x-1) = 2 – xとなります。

この手法を使えば、1/xの値をおおよそ簡単に計算できるようになります。

1回微分すると何がわかる？

1回微分でわかること（接線の傾き、増減）

導関数f'(x)は、各点における接線の傾きを表します（Try IT（高校数学解説））。f'(x)の符号を調べることで、関数の増減が一目でわかります。

具体例：1/xの増減

1/xの導関数は-1/x²で、x≠0の範囲で常に負です。したがって1/xはx>0で減少、x<0でも減少します。

この性質はグラフの概形を描くときに役立ちます。

どういう時に1回微分と2回微分を用いるのか？

1回微分の使いどころ

1回微分（導関数）は主に関数の増減を調べるときに使います。f'(x)=0となる点は極値の候補です（Try IT（高校数学解説））。

2回微分の使いどころ（凹凸、極値判定）

2回微分f”(x)は関数の凹凸を表し、f'(x)=0の点でf”(x)の符号を見れば極大・極小を判定できます（明光プラス（学習サイト））。例えばf”(x)>0なら下に凸で極小となります。

使い分けを理解すれば、関数解析がより深まります。

∞/∞ どうなる？

∞/∞の不定形の意味

極限計算で∞/∞の形が現れることがあります。これは値が一意に定まらない不定形で、式を変形して極限を求める必要があります（理系ラボ）。

ロピタルの定理

ロピタルの定理は、不定形の極限を微分を用いて計算する方法です。lim_{x→a} f(x)/g(x) が0/0または∞/∞のとき、lim_{x→a} f'(x)/g'(x) に置き換えられます（明光プラス（学習サイト））。

この定理を使いこなすには前提条件を常に意識する必要があります。

1/xの微分の計算手順

1. ステップ1：微分の定義式を書く
   f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h)-f(x)]/h（Try IT（高校数学解説））
2. ステップ2：f(x)=1/xを代入
   f'(x) = lim_{h→0} [1/(x+h) – 1/x]/h（金沢工業大学（数学Q&A））
3. ステップ3：通分して整理
   分子を通分：-h/[x(x+h)] となるので、式全体は -1/[x(x+h)]（理系ラボ）
4. ステップ4：h→0の極限を取る
   lim_{h→0} -1/[x(x+h)] = -1/x²（Try IT（高校数学解説））

この手順を一度自分で書いてみると、微分の本質がつかめます。

「1/x の微分は、定義に従って計算すると -1/x^2 になります。」

— Try IT（高校数学解説）

「1/x の導関数は -1/x^2 です。x=0では定義できません。」

— 金沢工業大学（数学Q&A）

微分を定義から理解することは、応用力の土台です。1/xの微分をマスターすれば、分数関数や商の微分、さらには近似や極限計算への道が開けます。数学IIIを学ぶ高校生にとって、この公式は単なる暗記ではなく、微分の本質を体感する絶好の材料と言えるでしょう。

よくある質問